Questão 11 do IME 2020

Passe o \cos x para o lado esquerdo e junte as constantes:

A expressão \operatorname{sen}x-\cos x pode ser escrita como uma única função seno. Use \operatorname{sen}(x-\tfrac{\pi}{4})=\operatorname{sen}x\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}-\cos x\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}. Então:

A desigualdade fica:

Esse valor é \operatorname{sen}75^\circ=\operatorname{sen}\frac{5\pi}{12}.

No ciclo, o seno é maior que \operatorname{sen}\frac{5\pi}{12} entre \frac{5\pi}{12} e \pi-\frac{5\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}. Logo:

1. \frac{5\pi}{12}<x-\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{12}
2. Somando \frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{12} em tudo: \frac{8\pi}{12}<x<\frac{10\pi}{12}
3. Simplificando: \frac{2\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{6}

Esse intervalo está dentro de [0,2\pi] e é a única solução.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem resolve \operatorname{sen}(x-\pi/4)>\operatorname{sen}75^\circ e esquece de somar \pi/4 ao intervalo encontrado.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIntervalo próximo de zero, onde \operatorname{sen}x-\cos x é negativo, então a desigualdade não vale.
• BÉ o intervalo de x-\pi/4, esquecendo de somar \pi/4 no final.
• DEm \pi/3 a \pi/2, \operatorname{sen}x-\cos x é no máximo 1, menor que (1+\sqrt3)/2\approx1{,}37.
• EPassa do limite 5\pi/6, onde \operatorname{sen}(x-\pi/4) já voltou a ser menor que \operatorname{sen}75^\circ.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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