PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2017

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Sejam uma progressão aritmética (a_1, a_2, a_3, a_4, \dots) e uma progressão geométrica (b_1, b_2, b_3, b_4, \dots) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e b_1 > 0. Sabe-se, também, que a_1+b_2=3, a_4+b_3=26. O valor de b_1 é:

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Escreva os termos em função de a_1, r, b_1 e q: a_4=a_1+3r, b_2=b_1q e b_3=b_1q^2.

As duas condições ficam:

  1. a_1+b_1q=3
  2. a_1+3r+b_1q^2=26

Subtraindo (1) de (2), o a_1 some:

3r+b_1q^2-b_1q=23 \Rightarrow 3r+b_1q(q-1)=23

Como r\geq 1, q\geq 3 e b_1\geq 1 são inteiros, basta testar os valores de q que mantêm b_1q(q-1)\leq 20.

  • q=3: b_1\cdot 6. Então 3r=23-6b_1, e isso exige 23-6b_1 múltiplo de 3. Mas 23 deixa resto 2 na divisão por 3 e 6b_1 deixa resto 0, então não há solução.
  • q=4: b_1\cdot 12. Também 23-12b_1 deixa resto 2 na divisão por 3, sem solução.
  • q=5: b_1\cdot 20. Com b_1=1, 3r=3 e r=1. Funciona.

Para q\geq 6, q(q-1)\geq 30>20, o que é impossível.

Logo q=5, b_1=1 e r=1. Conferindo: a_1=3-b_1q=3-5=-2, então a_4=-2+3=1 e b_3=25, de modo que a_4+b_3=26. ✓

Os termos são inteiros, como pede o enunciado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCom b_1=2 não há q>2 inteiro que dê 3r inteiro positivo na equação 3r+b_1q(q-1)=23.
  • CCom b_1=3, q=3 daria 18 e 3r=5, que não é inteiro; os demais q passam de 23.
  • DCom b_1=4, q=3 daria 24>23, o que é impossível.
  • ECom b_1=5, o menor valor de b_1q(q-1) é 30>23, o que é impossível.

Assuntos: Progressão geométrica, Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Prova objetiva do IME 2017

Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗