Questão 12 do IME 2017

Primeiro calculamos a área do pentágono ABCDE pela fórmula de Gauss (shoelace), percorrendo os vértices na ordem A(0,0), B(-1,1), C(1,2), D(4,1), E(3,\frac12).\n\nCada termo é x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i:\n\n1. A\to B: 0\cdot1-(-1)\cdot0=0\n2. B\to C: (-1)\cdot2-1\cdot1=-3\n3. C\to D: 1\cdot1-4\cdot2=-7\n4. D\to E: 4\cdot\frac12-3\cdot1=-1\n5. E\to A: 0\n\nSoma =-11, então a área é \frac{11}{2}. Cada parte deve ter área \frac{11}{4}.\n\nA reta por A corta CD em um ponto P. Um dos polígonos é ABCP. Sua área é a do triângulo ABC mais a do triângulo ACP.\n\nÁrea de ABC: \frac12|{-3}|=\frac32.\n\nFalta \frac{11}{4}-\frac32=\frac54 para o triângulo ACP.\n\nPonto P em CD: P=C+t(D-C)=(1+3t,\,2-t).\n\nÁrea de ACP =\frac12|x_Cy_P-x_Py_C|=\frac12|(2-t)-2(1+3t)|=\frac12|-7t|=\frac{7t}{2}.\n\nIgualando: \frac{7t}{2}=\frac54\Rightarrow t=\frac{5}{14}.\n\nEntão P=\left(1+\frac{15}{14},\,2-\frac5{14}\right)=\left(\frac{29}{14},\frac{23}{14}\right).\n\nSoma das coordenadas: \frac{29+23}{14}=\frac{52}{14}=\frac{26}{7}.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com t=\frac5{14}, provavelmente de erro na área a completar.
• BResulta de erro aritmético na soma das coordenadas de P.
• DResulta de um t ligeiramente errado, por exemplo ao esquecer a área de ABC.
• EValor maior que o correto, por erro no cálculo da área de ACP.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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