Questão 10 do IME 2017

Os seis triângulos formam um ciclo, com posições a_1,\dots,a_6 em círculo. Três triângulos adjacentes são três posições consecutivas, e cada soma deve ser múltiplo de 3.\n\nPrimeiro, olhe os restos na divisão por 3. Os números 1 a 6 têm restos 1,2,0,1,2,0, ou seja, dois de cada resto.\n\nSe a_1+a_2+a_3 e a_2+a_3+a_4 são múltiplos de 3, a diferença a_4-a_1 também é. Logo a_4\equiv a_1. Do mesmo modo, a_5\equiv a_2 e a_6\equiv a_3.\n\nAssim, as posições opostas têm o mesmo resto. Como há exatamente dois números de cada resto, cada par de posições opostas recebe os dois números de um mesmo resto: \\{1,4\\}, \\{2,5\\} e \\{3,6\\}.\n\nAlém disso, a_1+a_2+a_3 deve ser múltiplo de 3. Os restos de a_1,a_2,a_3 precisam ser todos iguais ou todos diferentes. Como a_1,a_2,a_3 vêm de pares distintos (restos diferentes), a soma tem restos 0+1+2, que é múltiplo de 3. Então todas as somas funcionam.\n\nContagem:\n1. Escolher qual par de resto vai nas posições (1,4), em (2,5) e em (3,6): 3!=6 modos.\n2. Em cada par de posições opostas, escolher qual dos dois números fica em cada posição: 2 modos, ou seja, 2^3=8.\n\nTotal: 6\cdot 8=48.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só a atribuição dos pares às posições, ou outra contagem parcial, sem o fator de trocas dentro de cada par.
• BConsidera apenas 3 trocas dentro dos pares ou divide por 2 indevidamente, já que rotações e reflexões são contadas como diferentes.
• CNão corresponde à contagem correta, que é 3!\cdot 2^3.
• EDuplica o resultado correto, contando duas vezes a escolha de ordem.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.