PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
A normal no ponto P da elipse
intercepta o eixo x no ponto Q. Se M é o ponto médio do segmento PQ, determine os pontos em que o lugar geométrico de M intersecta as retas x = +c e x = -c, sabendo que 2c é a distância entre os focos da elipse dada.
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Resolução comentada
Resolução
A elipse é \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1, com a=4 e b=2. Então c^2=a^2-b^2=12 e c=2\sqrt3.
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Seja P=(x_0,y_0) na elipse. O gradiente de x^2+4y^2 em P é (2x_0,\,8y_0), que dá a direção da normal, proporcional a (x_0,\,4y_0).
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A normal é \dfrac{x-x_0}{x_0}=\dfrac{y-y_0}{4y_0}. Fazendo y=0: \dfrac{x-x_0}{x_0}=-\dfrac14, logo x=\dfrac{3x_0}{4}. Assim, Q=\left(\dfrac{3x_0}{4},0\right).
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O ponto médio de PQ é M=(X,Y), com
X=\frac{x_0+\frac{3x_0}{4}}{2}=\frac{7x_0}{8},\qquad Y=\frac{y_0}{2}.
Portanto x_0=\dfrac{8X}{7} e y_0=2Y. -
Substituindo em x_0^2+4y_0^2=16:
\frac{64X^2}{49}+16Y^2=16\ \Rightarrow\ \frac{4X^2}{49}+Y^2=1.
O lugar geométrico de M é a elipse \dfrac{X^2}{49/4}+Y^2=1. Os pontos com y_0=0 são excluídos, porque neles a normal é o próprio eixo x e Q não fica definido. Isso não afeta a resposta. -
Interseção com x=\pm c=\pm2\sqrt3: X^2=12, então
Y^2=1-\frac{4\cdot12}{49}=\frac{1}{49}\ \Rightarrow\ Y=\pm\frac17.
Resposta: o lugar geométrico de M intersecta as retas x=\pm c nos quatro pontos \left(\pm2\sqrt3,\ \pm\dfrac17\right).
Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Ponto e reta no plano cartesiano.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗