PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
Considere um prisma quadrangular reto, completamente contido em uma esfera S de raio 6\text{ cm}. Sabe-se que os quatro vértices de uma das faces do prisma pertencem à superfície da esfera S. Determine:
(a) o volume máximo que esse prisma pode assumir;
(b) a altura e as dimensões da base do prisma correspondentes a esse volume máximo.
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Resolução comentada
a) Seja a o lado da base quadrada e h a altura. Os quatro vértices de uma face estão na esfera, então essa face é um quadrado inscrito numa circunferência de raio r=\frac{a\sqrt2}{2}, que é a interseção do plano da face com a esfera. Se d é a distância do centro O da esfera a esse plano, então
A outra face fica no plano paralelo a distância h da primeira. Para o prisma ficar contido na esfera, os vértices dessa face não podem estar fora dela. Eles têm a mesma distância r ao eixo, então o plano deles precisa estar a uma distância do centro de no máximo d. Como a primeira face está a distância d de O, o centro fica entre as faces ou no plano da primeira, e o limite é h\le 2d.
Para d fixo, o volume V=a^2h cresce com h, logo h=2d e
Derivando: V'(d)=144-12d^2=0\Rightarrow d=2\sqrt3. Como V'>0 para d<2\sqrt3 e V'<0 para d>2\sqrt3, esse ponto é de máximo.
Volume máximo: 192\sqrt3\ \text{cm}^3.
b) Com d=2\sqrt3:
- a^2=2(36-12)=48, logo a=4\sqrt3\ \text{cm};
- h=2d=4\sqrt3\ \text{cm}.
Como a=h, o prisma de volume máximo é um cubo inscrito na esfera. Conferindo: a diagonal do cubo é a\sqrt3=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12=2\cdot6, e V=(4\sqrt3)^3=192\sqrt3.
Base quadrada de lado 4\sqrt3\ \text{cm} e altura 4\sqrt3\ \text{cm} (um cubo).
Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Esfera.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗