PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
Sejam x_1,\ x_2,\dots,\ x_9 números reais positivos tais que \log_2 x_1,\ \log_2 x_2,\dots,\ \log_2 x_9 formam uma progressão aritmética de razão positiva. Sabe-se que x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot x_7 \cdot x_9 \cdot = 2^{45} e que x_2 + x_4 + x_6 + x_8 = 5540. Determine x_1 + x_3 + x_5 + x_7 + x_9.
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Resolução comentada
a) Seja a_n=\log_2 x_n, uma PA de razão r>0. Os termos de índice ímpar também formam uma PA, e a_5 é o termo central entre eles.
- Do produto: \log_2(x_1x_3x_5x_7x_9)=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=5a_5=45, logo a_5=9 e x_5=2^9=512.
- Com q=2^r>1, vale x_n=512\,q^{\,n-5}.
- Soma dos pares: 512\left(q^{-3}+q^{-1}+q+q^{3}\right)=5540, ou seja, q^3+q+\tfrac1q+\tfrac1{q^3}=\tfrac{1385}{128}.
- Seja t=q+\tfrac1q. Então q^3+\tfrac1{q^3}=t^3-3t, e a equação vira t^3-2t=\tfrac{1385}{128}. A raiz real positiva é t\approx 2{,}5116, que dá q>1 (com t>2).
- Soma dos ímpares: S=512\left(q^{-4}+q^{-2}+1+q^{2}+q^{4}\right). Com u=t^2-2=q^2+q^{-2}, temos q^4+q^{-4}=u^2-2, então S=512\,(u^2+u-1).
- Numericamente: t^2\approx 6{,}30814, u\approx 4{,}30814 e u^2+u-1\approx 21{,}8682. Logo S\approx 512\cdot 21{,}8682\approx 11\,196{,}5.
Observação: com os dados exatamente como no enunciado, a cúbica não tem raiz racional e o resultado não é inteiro. Se a soma dos pares fosse 5440, teríamos q=2 e S=512\cdot\tfrac{341}{16}=10\,912. Isso sugere possível erro de digitação no enunciado.
x_1+x_3+x_5+x_7+x_9=512\,(u^2+u-1)\approx 1{,}12\times10^4, com u=t^2-2 e t^3-2t=\tfrac{1385}{128} (aproximadamente 11\,196{,}5).
Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗