PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
Determine o valor de
(y_1 + x_1)(y_1 + x_2)(y_2 + x_1)(y_2 + x_2)(y_3 + x_1)(y_3 + x_2)
em que (y_1, y_2, y_3) e (x_1, x_2) são respetivamente as raízes das equações y^3 - 4y - 2 = 0 e x^2 - 7x - 3 = 0.
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Resolução comentada
a) Chame de P(y)=y^3-4y-2=(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3). Para um x qualquer, o produto dos três fatores com esse x é:
(y_1+x)(y_2+x)(y_3+x)=-\,(-x-y_1)(-x-y_2)(-x-y_3)=-P(-x)
Como P(-x)=-x^3+4x-2, temos:
(y_1+x)(y_2+x)(y_3+x)=x^3-4x+2=Q(x)
Agrupando os seis fatores por valor de x, o produto pedido é Q(x_1)\,Q(x_2).
Como x_1 e x_2 são raízes de x^2-7x-3=0, vale x^2=7x+3. Então:
x^3=7x^2+3x=7(7x+3)+3x=52x+21
Logo Q(x)=52x+21-4x+2=48x+23 para x=x_1 e para x=x_2.
Pelas relações de Girard, x_1+x_2=7 e x_1x_2=-3. Assim:
(48x_1+23)(48x_2+23)=2304\,x_1x_2+48\cdot 23\,(x_1+x_2)+529
=2304(-3)+1104\cdot 7+529=-6912+7728+529=1345
Resposta: 1345
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗