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Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027

Matemática · Matemática: Números complexos

Seja a equação abaixo, onde z \in \mathbb{C}

1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 = 0

Ao escolher ao acaso uma raiz qualquer dessa equação, qual a probabilidade dela satisfazer a inequação abaixo?

\left| z - \frac{3}{2} \right| \le \frac{\sqrt{7}}{2}
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Resolução comentada

a) Multiplique a equação por (z-1), com z\neq 1. O lado esquerdo vira a soma de uma PG de razão z:

(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5)=z^6-1

As raízes são, portanto, as raízes sextas da unidade, exceto z=1, que não é raiz da equação original (ela dá 6). Ficam 5 raízes distintas:

z_k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\,\sen\frac{k\pi}{3},\quad k=1,2,3,4,5

São elas: \frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i, -\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i e -1.

Agora a inequação. Escreva z=x+yi, com |z|=1 para todas as raízes:

\left|z-\tfrac32\right|^2=|z|^2-3x+\tfrac94=\tfrac{13}{4}-3x

A condição \left|z-\tfrac32\right|^2\le\tfrac74 fica

\tfrac{13}{4}-3x\le\tfrac74\iff x\ge\tfrac12

Ou seja, a parte real da raiz deve ser pelo menos \tfrac12.

Verificando as raízes:

  • k=1 e k=5: parte real \tfrac12. Vale a igualdade, então satisfazem.
  • k=2 e k=4: parte real -\tfrac12. Não satisfazem.
  • k=3: parte real -1. Não satisfaz.

Satisfazem a inequação 2 das 5 raízes, todas equiprováveis. A probabilidade é

\dfrac{2}{5}

Assuntos: Números complexos, Probabilidade: conceitos básicos.

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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗