PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
Sejam z_0,\text{ } z_1,\text{ },\text{ }\text{...},\text{ } z_{11} as doze raízes complexas da equação z^{12} = 1, representadas no plano de Argand-Gauss. O hexágono regular \mathcal{P} tem por vértices as raízes de índice par, e o hexágono regular \mathcal{I} as de índice impar. Determine a área da região coberta pela união \mathcal{P} \cup \mathcal{I}.
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Resolução comentada
a) Os vértices são z_k = e^{2\pi i k/12}, todos sobre a circunferência de raio 1. Cada hexágono regular tem, portanto, lado 1 e apótema \frac{\sqrt3}{2}. Os dois hexágonos estão girados de 30^\circ entre si.
Use a área da união: A(\mathcal P\cup\mathcal I)=A(\mathcal P)+A(\mathcal I)-A(\mathcal P\cap\mathcal I).
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Área de cada hexágono: \dfrac{6\cdot 1^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.
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Interseção: cada hexágono é a interseção de 6 semiplanos cujas retas ficam a distância \frac{\sqrt3}{2} da origem. As normais de \mathcal P apontam para os ângulos 30^\circ, 90^\circ,\dots e as de \mathcal I para 0^\circ, 60^\circ,\dots. A interseção é limitada por 12 retas igualmente espaçadas de 30^\circ, todas à mesma distância \frac{\sqrt3}{2} da origem. É, então, um dodecágono regular de apótema a=\frac{\sqrt3}{2}.
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Esse dodecágono se divide em 12 triângulos isósceles de altura a e ângulo central 30^\circ. Cada um tem área a^2\,\tg 15^\circ, com \tg15^\circ = 2-\sqrt3:
A(\mathcal P\cap\mathcal I)=12\cdot\frac34\,(2-\sqrt3)=18-9\sqrt3. -
União:
A = 2\cdot\frac{3\sqrt3}{2}-(18-9\sqrt3)=3\sqrt3-18+9\sqrt3=12\sqrt3-18.
Conferência: a união vale \approx 2{,}78, um pouco maior que a área de um hexágono (\approx 2{,}60). Cada "ponta" de \mathcal I fora de \mathcal P é um triângulo com ângulo de 120^\circ no vértice e altura 1-\frac{\sqrt3}{2}. A área dele é \approx 0{,}031, e seis pontas dão \approx 0{,}19. Isso bate com 2{,}78-2{,}60.
Área =12\sqrt3-18
Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Números complexos.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗