Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027

Question

Para cada número inteiro positivo n, seja g_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R} a função definida por

g_n(x) = \begin{cases} 0\text{, } \textbf{se} & x \le -\dfrac{1}{n} \\[6pt] 1\text{, } \textbf{se} & -\dfrac{1}{n} < x \end{cases}

Seja, ainda, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por

f(x) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{g_n(x)}{3}\right)^n

Determine o menor valor inteiro de x para o qual

f(x) + f\left(-\frac{1}{x}\right) \ge 0{,}999

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Para cada número inteiro positivo n, seja g_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R} a função definida por

g_n(x) = \begin{cases} 0\text{, } \textbf{se} & x \le -\dfrac{1}{n} \\[6pt] 1\text{, } \textbf{se} & -\dfrac{1}{n} < x \end{cases}

Seja, ainda, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por

f(x) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{g_n(x)}{3}\right)^n

Determine o menor valor inteiro de x para o qual

f(x) + f\left(-\frac{1}{x}\right) \ge 0{,}999

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Resolução comentada

a) Primeiro, vamos calcular f em cada região. Note que g_n(x)=1 se, e somente se, x>-\frac1n, ou seja, -x<\frac1n.

Se x\ge 0: todo g_n(x)=1, então f(x)=\sum_{n\ge1}\left(\frac13\right)^n=\dfrac{1/3}{1-1/3}=\dfrac12.
Se x\le -1: x>-\frac1n nunca ocorre (pois -\frac1n\ge -1), então todo g_n(x)=0 e f(x)=0.
Se -1<x<0: g_n(x)=1 se, e somente se, n<-\frac1x (isto é, n<\frac1{|x|}).

O inteiro x não pode ser 0, porque f\left(-\frac1x\right) não está definida.

Caso x\le-1 (negativos): f(x)=0 e -\frac1x\in(0,1], logo f\left(-\frac1x\right)=\frac12. A soma vale \frac12<0{,}999, e nenhum negativo serve.

Caso x=1: f(1)=\frac12 e f(-1)=0. A soma vale \frac12, e não serve.

Caso x\ge2: f(x)=\frac12 e -\frac1x\in(-1,0). Nesse caso, g_n\left(-\frac1x\right)=1 se, e somente se, n<x, isto é, n=1,\dots,x-1. Então

f\left(-\frac1x\right)=\sum_{n=1}^{x-1}\left(\frac13\right)^n=\frac12\left(1-\frac1{3^{x-1}}\right).

A soma fica

f(x)+f\left(-\frac1x\right)=1-\frac{1}{2\cdot3^{x-1}}.

Impondo \ge 0{,}999:

\frac{1}{2\cdot 3^{x-1}}\le 0{,}001\iff 3^{x-1}\ge 500.

Como 3^5=243<500<729=3^6, é preciso x-1\ge6, ou seja, x\ge7.

Conferindo: para x=7 a soma é 1-\frac1{1458}\approx0{,}99931\ge0{,}999. Para x=6 é 1-\frac1{486}\approx0{,}99794<0{,}999.

Resposta: x=7.

Assuntos: Progressão geométrica, Inequações e desigualdades.

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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗