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Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

No quadrado ABCD de lado a, são dados os pontos M sobre o lado BC e N sobre o lado CD de forma que AMN seja um triângulo equilátero. Calcule, em função de a, o raio do círculo inscrito no triângulo CMN.

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Resolução comentada

a) Coloque A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a) e D=(0,a), com M=(a,m) em BC e N=(n,a) em CD.

Como AMN é equilátero, AM=AN. Isso dá a^2+m^2=n^2+a^2, ou seja, m=n. Então M=(a,t) e N=(t,a), com 0\le t\le a.

Igualando AM=MN:

AM^2=a^2+t^2,\qquad MN^2=2(a-t)^2
a^2+t^2=2a^2-4at+2t^2 \;\Rightarrow\; t^2-4at+a^2=0 \;\Rightarrow\; t=a(2\pm\sqrt3)

Como t\le a, fica t=a(2-\sqrt3).

Os catetos do triângulo CMN medem

CM=CN=a-t=a(\sqrt3-1)=L.

O triângulo CMN é retângulo e isósceles em C, com hipotenusa MN=L\sqrt2.

Num triângulo retângulo, o raio do círculo inscrito é r=\dfrac{c_1+c_2-h}{2}, onde c_1 e c_2 são os catetos e h é a hipotenusa. Aqui:

r=\frac{2L-L\sqrt2}{2}=\frac{L(2-\sqrt2)}{2}=\frac{a(\sqrt3-1)(2-\sqrt2)}{2}

Desenvolvendo:

r=\frac{a\,(2\sqrt3-\sqrt6-2+\sqrt2)}{2}\approx 0{,}214\,a

r=\dfrac{a(\sqrt3-1)(2-\sqrt2)}{2}=\dfrac{a(2\sqrt3+\sqrt2-\sqrt6-2)}{2}

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: IME 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗