PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026
Seja o tetraedro regular ABCD de aresta a e a esfera inscrita no mesmo. Considerando cada vértice, traça-se um plano distinto da base oposta, paralelo a esta base e tangente à esfera. Um novo tetraedro é então formado a partir do vértice A e dos novos vértices definidos pela interseção do novo plano traçado, paralelo à base BCD, com o tetraedro ABCD. Analogamente faz-se o mesmo processo para os vértices B, C e D. Em seguida, inscreve-se uma esfera em cada novo tetraedro criado. Repete-se o processo de forma indefinida. Calcule em função de a o volume ocupado por todas as esferas interiores ao tetraedro ABCD.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Primeiro, a esfera inscrita. Em um tetraedro regular de aresta a, a altura é h=\dfrac{a\sqrt6}{3} e o raio inscrito é r=\dfrac{h}{4}=\dfrac{a\sqrt6}{12}. O centro fica a r de cada face, e o diâmetro vale 2r=\dfrac h2.
Primeira etapa. Perto do vértice A, o plano paralelo a BCD e tangente à esfera (o outro plano tangente, não o da face BCD) está a uma distância 2r=\dfrac h2 de BCD. Logo, ele está a h-\dfrac h2=\dfrac h2 de A.
O novo tetraedro com vértice A é semelhante ao original, com razão \dfrac12. A esfera inscrita nele tem raio \dfrac r2. O mesmo vale para B, C e D, o que dá 4 tetraedros novos, com 4 esferas de raio \dfrac r2.
Esses tetraedros ficam todos do lado do vértice em relação ao plano tangente, então não invadem a esfera original (só a tangenciam). Dois deles se tocam apenas em um ponto, o ponto médio da aresta comum. Portanto as esferas não se sobrepõem.
Repetição. Cada tetraedro novo gera 4 outros, com razão \dfrac12 novamente. Na etapa n há 4^n esferas de raio \dfrac{r}{2^n}, cada uma com volume
O volume total, contando a esfera inscrita original (n=0), é uma PG de razão \dfrac48=\dfrac12:
Como r^3=\dfrac{6\sqrt6\,a^3}{1728}=\dfrac{\sqrt6\,a^3}{288}:
Volume ocupado pelas esferas: \dfrac{\pi\sqrt6\,a^3}{108}
Assuntos: Esfera, Progressão geométrica.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: IME 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗