Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

Defina f(t)=t+\log\left(t+\sqrt{t^2+1}\right). Como \sqrt{t^2+1}>|t|, o logaritmando é sempre positivo e f está definida em todo \mathbb{R}. O sistema fica:

Passo 1: f é estritamente crescente.

Derivando,

Logo f'(t)=1+\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}>0 para todo t.

Passo 2: x=y=z.

Suponha x\le y. Aplicando f (crescente), f(x)\le f(y), isto é, y\le z. Aplicando f de novo, f(y)\le f(z), isto é, z\le x. Então x\le y\le z\le x, e portanto x=y=z.

Se x\ge y, todas as desigualdades se invertem e a conclusão é a mesma. Como uma das duas situações sempre ocorre, toda solução real tem x=y=z.

Passo 3: resolver f(x)=x.

A equação fica \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=0, ou seja, x+\sqrt{x^2+1}=1. Então:

1. \sqrt{x^2+1}=1-x, com x\le 1.
2. Elevando ao quadrado: x^2+1=1-2x+x^2, logo x=0.

Esse valor satisfaz x\le1 e verifica a equação original: 0+\log(0+1)=0.

Assim, o sistema admite solução, e ela é única: (x,y,z)=(0,0,0).

Solução única: x=y=z=0.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Conceito de função, composta e inversa.

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