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Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Seja a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2027} uma sequência de números reais tal que a_1 = 1, a_4 = 10 e que o sistema linear

\begin{cases} x + 2y + z = a_j \\ x + 3y + z = a_{j+1} \\ x + 4y + z = a_{j+2} \end{cases}

é possível para cada j = 1, \ldots, 2025. Calcule \sum_{j=1}^{2025} (x_j + y_j + z_j), em que (x_j, y_j, z_j) representa uma solução do sistema para cada j = 1, \ldots, 2025.

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Resolução comentada

a) Subtraindo a 1ª equação da 2ª e a 2ª da 3ª, o x e o z somem:

y = a_{j+1}-a_j \quad\text{e}\quad y = a_{j+2}-a_{j+1}.

Para o sistema ser possível, as duas diferenças precisam ser iguais: a_{j+2}-a_{j+1}=a_{j+1}-a_j, ou seja, a_j, a_{j+1}, a_{j+2} estão em PA. Como isso vale para j=1,\dots,2025, a sequência inteira, de a_1 a a_{2027}, é uma PA.

Com a_1=1 e a_4=10: a_4=a_1+3r, então 9=3r e r=3. Logo a_n=3n-2.

Em cada sistema, y_j=r=3. Pela 1ª equação, x_j+z_j=a_j-2y_j=a_j-6. Assim, mesmo que x_j e z_j não sejam únicos, a soma pedida é única:

x_j+y_j+z_j=(a_j-6)+3=a_j-3=3j-5.

Somando de j=1 a 2025:

  1. \displaystyle\sum_{j=1}^{2025} 3j = 3\cdot\frac{2025\cdot 2026}{2}=3\cdot 2025\cdot 1013=6\,153\,975
  2. \displaystyle\sum_{j=1}^{2025} 5 = 10\,125
  3. Diferença: 6\,153\,975-10\,125=6\,143\,850

Resposta: 6\,143\,850

Assuntos: Sistemas lineares, Progressão aritmética.

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Fonte: IME 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗