Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

Resolução (sem itens; a prova completa está abaixo)

A ideia é usar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (MA ≥ MG) duas vezes e multiplicar os resultados. Como a, b e c são positivos, todos os termos envolvidos são positivos e podemos multiplicar desigualdades sem inverter o sentido.

Passo 1. Aplicando MA ≥ MG aos números positivos a, b, c:

Passo 2. Aplicando MA ≥ MG aos números positivos \frac1a, \frac1b, \frac1c:

Passo 3. Multiplicando as duas desigualdades (ambos os lados são positivos):

Prova alternativa, sem MA-MG. Expandindo o produto:

Para x,y>0, vale \frac xy+\frac yx-2=\frac{(x-y)^2}{xy}\ge 0, logo cada parêntese é \ge 2. Assim, o total é \ge 3+2+2+2=9.

A igualdade ocorre quando a=b=c.

Fica provado que (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge 9.

Assunto: Inequações e desigualdades.