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Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

Matemática · Matemática: Função quadrática

Considere a função f : [0,1) \to \mathbb{R}, definida por

f(x) = \sum_{n=1}^\infty \sqrt{x^n}

e a \in [0,1), a \neq \frac{1}{9}. Dentre todas as retas secantes ao gráfico da função f nos pontos (a,f(a)) e (x,f(x)), x \neq a, a que tem o menor coeficiente angular é aquela que é paralela à reta de equação ky - 4x = 2026. Determine o valor de k em função de a.

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Resolução comentada

a) Primeiro escrevemos f em forma fechada. Com t=\sqrt{x}\in[0,1), a série é geométrica:

f(x)=\sum_{n=1}^\infty t^n=\frac{t}{1-t}.

Seja s=\sqrt{a}. O coeficiente angular da secante pelos pontos de abscissas a e x é

m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

O numerador é

\frac{t}{1-t}-\frac{s}{1-s}=\frac{t-s}{(1-t)(1-s)},

e o denominador é x-a=t^2-s^2=(t-s)(t+s). Como t\neq s, podemos cancelar t-s:

m=\frac{1}{(1-s)\,(1-t)(t+s)}.

Para m ser mínimo, precisamos maximizar g(t)=(1-t)(t+s) com t\in[0,1). Esse é um trinômio do 2º grau com concavidade para baixo, e seu vértice está em

t=\frac{1-s}{2}\in(0,1).

Nesse ponto, 1-t=t+s=\frac{1+s}{2}, logo

g_{\max}=\frac{(1+s)^2}{4}.

O vértice só é permitido se t\neq s, isto é, s\neq\frac13, ou seja, a\neq\frac19. É exatamente a condição do enunciado.

O menor coeficiente angular é, portanto,

m_{\min}=\frac{4}{(1-s)(1+s)^2}.

A reta ky-4x=2026 tem coeficiente angular \frac{4}{k}, com k\neq0. Igualando:

\frac{4}{k}=\frac{4}{(1-s)(1+s)^2}\Rightarrow k=(1-\sqrt a)(1+\sqrt a)^2=(1-a)(1+\sqrt a).

k=(1-a)(1+\sqrt{a})

Assuntos: Função quadrática, Progressão geométrica.

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Fonte: IME 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗