Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

a) Escreva z = x + iy com x, y reais. Para os denominadores não se anularem, precisamos de z-\overline{z}=2iy\neq0 e z^2-\overline{z}^2=(z-\overline z)(z+\overline z)=4ixy\neq 0. Logo x\neq0 e y\neq0.

Seja t=\dfrac{x}{y}, real e não nulo. Então:

1. A=\dfrac{z+\overline z}{z-\overline z}=\dfrac{2x}{2iy}=-i\,t.
2. B=\dfrac{z^2+\overline z^2}{z^2-\overline z^2}=\dfrac{2(x^2-y^2)}{4ixy}=-i\,\dfrac{x^2-y^2}{2xy}=-i\,s, com s=\dfrac{t^2-1}{2t}, também real.

Substituindo na equação i(A+B)-AB=1:

Isso equivale a (1+t)(1+s)=2. Como 1+s=\dfrac{t^2+2t-1}{2t}, temos

Testando t=1: 1+3-3-1=0. Fatorando, (t-1)(t^2+4t+1)=0. As raízes são t=1, t=-2+\sqrt3 e t=-2-\sqrt3, todas reais e não nulas.

Como x=ty, os complexos procurados são z=y(t+i), com y real não nulo:

• t=1: z=y(1+i);
• t=-2+\sqrt3: z=y\left(-2+\sqrt3+i\right);
• t=-2-\sqrt3: z=y\left(-2-\sqrt3+i\right).

Verificação com t=1: s=0 e (1+t)(1+s)=2, que satisfaz a equação.

Resposta: z=y(t+i), com y\in\mathbb R^* e t\in\{1,\,-2+\sqrt3,\,-2-\sqrt3\}.

Assunto: Números complexos.