PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026
Calcule as soluções reais da equação
x^4 + (2x + 7)^3 + 14x^3 + \frac{147}{2}x^2 + \frac{7^3}{2}x = -\frac{7^4}{16}
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Resolução comentada
Passe tudo para o lado esquerdo e some \frac{7^4}{16} nos dois lados:
x^4 + 14x^3 + \frac{147}{2}x^2 + \frac{343}{2}x + \frac{7^4}{16} + (2x+7)^3 = 0
Os cinco primeiros termos lembram o desenvolvimento de \left(x+\frac72\right)^4. Conferindo pelo binômio de Newton:
\left(x+\tfrac72\right)^4 = x^4 + 4\cdot\tfrac72 x^3 + 6\cdot\tfrac{49}{4}x^2 + 4\cdot\tfrac{343}{8}x + \tfrac{2401}{16} = x^4 + 14x^3 + \tfrac{147}{2}x^2 + \tfrac{343}{2}x + \tfrac{7^4}{16}
Portanto a equação fica
\left(x+\tfrac72\right)^4 + (2x+7)^3 = 0.
Faça y = x + \frac72. Então 2x+7 = 2y e
y^4 + 8y^3 = 0 \iff y^3(y+8)=0.
Logo y=0 ou y=-8.
- y=0: x = -\frac72.
- y=-8: x = -8 - \frac72 = -\frac{23}{2}.
Conferindo x=-\frac{23}{2}: x+\frac72=-8 e 2x+7=-16, então (-8)^4+(-16)^3 = 4096-4096=0. ✓
Soluções reais: x=-\dfrac72 e x=-\dfrac{23}{2}.
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.
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Fonte: IME 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗