PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025
Seja \alpha uma semicircunferência de diâmetro AB contida no primeiro quadrante, sendo A = (0, 0) e B = (x_B, 0). A reta t tangencia \alpha no ponto T = (x_T, y_T) e intercepta o eixo x no ponto C = (x_C, 0), x_c > x_B. Com o centro em T, traça-se uma circunferência de raio TH, H = (x_T, 0). Essa circunferência corta a reta t nos pontos D = (x_D, y_D) e E = (x_E, y_E). Sabe-se que x_D < x_B < x_E, BC = 5 e HB = 4.
Determine as coordenadas de D.
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Resolução comentada
a) Seja O=(r,0) o centro de \alpha, de modo que B=(2r,0) e C=(2r+5,0), pois BC=5.
Como H é a projeção de T sobre AB e HB=4, temos H=(2r-4,0).
A tangente é perpendicular ao raio, então o triângulo OTC é retângulo em T e TH é a altura relativa à hipotenusa. Pelas relações métricas, OT^2=OH\cdot OC.
Aqui OT=r, OH=(2r-4)-r=r-4 e OC=r+5. Logo:
Assim, O=(20,0), B=(40,0), H=(36,0) e C=(45,0).
Para achar y_T, use T na circunferência: (36-20)^2+y_T^2=20^2, ou seja, y_T^2=400-256=144 e y_T=12. Então T=(36,12) e o raio da circunferência de centro T é TH=12.
A reta t passa por T=(36,12) e C=(45,0), com vetor direção (9,-12), paralelo a (3,-4). Seu vetor unitário é \left(\frac35,-\frac45\right).
Os pontos de t a distância 12 de T são:
Isso dá (43{,}2;\ 2{,}4) e (28{,}8;\ 21{,}6).
Como x_D<x_B=40<x_E, o ponto D é o de menor abscissa:
D=(28{,}8;\ 21{,}6)
Assuntos: Equação da circunferência, Teorema de Pitágoras e relações métricas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.
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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗