Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

a) Para x\neq 1, o quociente é a soma de uma PG:

Logo P(x)=(1+x+\dots+x^{2024})^{2025}.

Para o coeficiente de x^3, só importam os termos de grau até 3. Como 3<2025, os termos x^{2025} e seguintes (que apareceriam em 1/(1-x)) não interferem. Então podemos trocar a soma finita por 1+x+x^2+x^3+\dots e usar:

O coeficiente de x^3 é \binom{2027}{3}.

Outra forma de ver isso: é o número de soluções inteiras não negativas de a_1+a_2+\dots+a_{2025}=3, ou seja, de distribuir 3 unidades em 2025 fatores. Isso dá \binom{2027}{3}.

Cálculo:

1. \binom{2027}{3}=\dfrac{2027\cdot 2026\cdot 2025}{6}=2027\cdot 1013\cdot 675.
2. 2027\cdot 1013=2\,053\,351.
3. 2\,053\,351\cdot 675=1\,386\,011\,925.

O coeficiente de x^3 é \binom{2027}{3}=1\,386\,011\,925.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Polinômios.

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