Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

Montagem. Coloque B na origem e a reta ABC no eixo x, com A=(a,0) e C=(c,0). A condição AB\neq BC significa |a|\neq|c|. Em particular a\neq c e a+c\neq 0.

Sejam O_1 e O_2 os centros das circunferências, ambas de raio r. O_1 está na mediatriz de AB e O_2 na mediatriz de BC:

Ponto M. Como O_1B=O_1M=O_2B=O_2M=r, o quadrilátero BO_1MO_2 tem os quatro lados iguais, ou seja, é um losango. Logo \vec{BM}=\vec{BO_1}+\vec{BO_2}, e

A abscissa de M é fixa e igual à do ponto médio N de AC. Então M está sobre a reta s, perpendicular a AC passando por N.

Quais pontos de s são atingidos. Suponha, sem perda de generalidade, |a|>|c|. Faça d=\dfrac{a^2-c^2}{4}>0 e t=r^2-\dfrac{a^2}{4}\ge 0. As circunferências existem quando t\ge0. Então

• Com sinais iguais: |y|=\sqrt{t+d}+\sqrt t. Essa função cresce de \sqrt d até +\infty, e assume todo valor em [\sqrt d,\infty).
• Com sinais opostos: |y|=\sqrt{t+d}-\sqrt t=\dfrac{d}{\sqrt{t+d}+\sqrt t}. Essa função decresce de \sqrt d até 0, sem alcançar 0, e assume todo valor em (0,\sqrt d].

Juntando os dois casos e os dois sinais de y, obtém-se todo y\neq 0. O valor y=0 é impossível, pois exigiria \sqrt{t+d}=\sqrt t, com d>0. Isso exclui o ponto N.

Verificação de M\neq B: M=B exigiria a+c=0, o que é excluído por AB\neq BC. As circunferências também nunca coincidem, pois O_1\neq O_2 já que a\neq c.

Conclusão. O lugar geométrico de M é a mediatriz do segmento AC (reta perpendicular a AC pelo ponto médio de AC), excluído o próprio ponto médio de AC.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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