Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

Question

Determine as raizes complexas da equação abaixo, onde i^2 = -1.

\frac{x^2 + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^2 + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}}{x - 1} = \frac{16}{(x^2 - 1)^2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

Matemática · Matemática: Números complexos

Determine as raizes complexas da equação abaixo, onde i^2 = -1.

\frac{x^2 + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^2 + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}}{x - 1} = \frac{16}{(x^2 - 1)^2}

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Resolução comentada

a) Primeiro, as condições de existência: o denominador não pode se anular, então x\neq 1 e x\neq -1.

Seja a=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}. Então \bar a=\dfrac{1-i\sqrt3}{2}, e os dois números aparecem no numerador.

Calculamos a soma e o produto deles:

a+\bar a=1,\qquad a\bar a=\frac{1+3}{4}=1.

O produto dos numeradores fica:

(x^2+a)(x^2+\bar a)=x^4+(a+\bar a)x^2+a\bar a=x^4+x^2+1.

Os denominadores dão (x+1)(x-1)=x^2-1. A equação passa a ser:

\frac{x^4+x^2+1}{x^2-1}=\frac{16}{(x^2-1)^2}.

Como x^2-1\neq 0, multiplicamos os dois lados por (x^2-1)^2:

(x^4+x^2+1)(x^2-1)=16.

O lado esquerdo é a diferença de cubos (x^2)^3-1^3, ou seja, x^6-1. Logo:

x^6-1=16\ \Rightarrow\ x^6=17.

As raízes sextas de 17 são x_k=\sqrt[6]{17}\,\left(\cos\dfrac{k\pi}{3}+i\,\sen\dfrac{k\pi}{3}\right), com k=0,1,\dots,5. Nenhuma delas é \pm1, pois (\pm1)^6=1\neq17. Todas satisfazem a condição de existência.

Escrevendo as seis raízes explicitamente, com r=\sqrt[6]{17}:

x=\pm r,\qquad x=\pm\, r\,\frac{1+i\sqrt3}{2},\qquad x=\pm\, r\,\frac{1-i\sqrt3}{2}.

As raízes são as seis soluções de x^6=17: \pm\sqrt[6]{17}, \pm\sqrt[6]{17}\,\dfrac{1+i\sqrt3}{2} e \pm\sqrt[6]{17}\,\dfrac{1-i\sqrt3}{2}.

Assuntos: Números complexos, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Questão 4 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2025

Fonte: IME 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗