PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025
Há três casas numeradas pelos números naturais k, m e n, onde 0 < k < m < n. Três pessoas A, B e C as alugam por temporada com ocupação por sorteio. A cada sorteio cada pessoa recebe um valor em reais correspondente ao número da casa a si alocada. Depois do último sorteio A, B e C têm, acumulado, respectivamente, 10, 9 e 14 reais. Sabe-se que foram realizados pelo menos 2 sorteios e que no último deles B recebeu n reais.
Quais são os números das casas?
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Resolução comentada
a) Se foram r sorteios, cada um distribui k+m+n reais no total. O acumulado de todos é 10+9+14=33, então:
Como r\ge 2, os casos possíveis são r=3, r=11 e r=33. Os casos r=11 e r=33 exigiriam k+m+n=3 ou 1. Mas k+m+n\ge 1+2+3=6, então esses casos não servem. Logo r=3 e k+m+n=11.
As ternas de naturais com 0<k<m<n e soma 11 são: (1,2,8), (1,3,7), (1,4,6), (2,3,6) e (2,4,5).
No último sorteio B recebeu n. Nos outros dois sorteios ele recebeu, juntos, 9-n.
- n=8: sobra 1 para dois sorteios, mas o mínimo é 1+1=2. Não serve.
- n=7, terna (1,3,7): B recebeu 1,1,7. Nos dois primeiros sorteios A e C dividem 3 e 7. No último dividem 1 e 3. As somas possíveis de C são 7+7+1=15, 7+7+3=17, 7+3+1=11, 7+3+3=13 e 3+3+1=7, entre outras, e nenhuma dá 14. Não serve.
- n=6: sobra 3 para dois sorteios. Com (1,4,6) ou (2,3,6) isso é impossível, pois as somas de dois valores são 2, 5, 8,\dots e 4, 5, 6,\dots. Não serve.
- n=5, terna (2,4,5): sobra 4, que é 2+2. Então B recebeu 2,2,5 (soma 9).
Nos dois primeiros sorteios A e C dividem 4 e 5. No último dividem 2 e 4. Para C somar 14, a única possibilidade é 5+5+4. Então A recebeu 4+4+2=10, o que confere.
As casas são numeradas por k=2, m=4 e n=5.
Resposta: as casas são 2, 4 e 5.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗