Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

Demonstração.

Seja ABC\,A'B'C' o prisma triangular, com arestas laterais AA', BB', CC' paralelas. Tome a face lateral ABB'A', que é um paralelogramo de área S. A aresta oposta a ela é CC'. Como CC' \parallel AA' e AA' está no plano da face, a aresta CC' é paralela ao plano ABB'A'. Logo a distância d da face à aresta oposta é a distância de qualquer ponto de CC' ao plano ABB'A'.

1) Completando o paralelepípedo. Marque o ponto D tal que ABDC seja paralelogramo, isto é, \vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}. Marque D' tal que DD' seja paralela e igual a AA'. Os pontos A,B,C,D,A',B',C',D' são os vértices de um paralelepípedo P, pois ele tem a base ABDC e as arestas laterais AA',BB',CC',DD' paralelas e iguais.

2) O plano BCC'B' divide P em dois prismas congruentes. Esse plano contém a diagonal BC da base e a diagonal B'C' da face superior. Ele divide P no prisma ABC\,A'B'C' e no prisma DCB\,D'C'B'.

Seja O o centro do paralelepípedo, que é o ponto médio de AD'. A simetria central de centro O leva A\to D', B\to C', C\to B', D\to A', e leva também A'\to D, B'\to C, C'\to B. Assim, o triângulo ABC vai em D'C'B' e o triângulo A'B'C' vai em DCB. Portanto o primeiro prisma é levado no segundo. Como a simetria central preserva o volume, os dois prismas têm o mesmo volume, e

3) Volume do paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo é a área de uma face qualquer vezes a distância entre essa face e a face oposta (que está em plano paralelo). Tomando a face ABB'A', de área S, a face oposta é DCC'D', que contém a aresta CC'. A distância entre os dois planos paralelos é a distância de CC' ao plano ABB'A', ou seja, d. Então

4) Conclusão. Juntando os resultados,

que é o semiproduto da área de uma face lateral pela distância dessa face à aresta oposta. \blacksquare

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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