Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

a) Como os coeficientes são reais, uma raiz não real z vem sempre acompanhada de seu conjugado \bar z, e |z|=|\bar z|=\gamma. A terceira raiz, r, é real, pois o polinômio tem grau 3.

A equação é x^3 + 0\cdot x^2 - \alpha x + \beta = 0. Usando as relações de Girard:

1. Soma das raízes: r + z + \bar z = 0, logo z+\bar z = -r.
2. Produto das raízes: r\,z\bar z = -\beta. Como z\bar z=\gamma^2, temos r\gamma^2=-\beta, ou seja, r=-\dfrac{\beta}{\gamma^2}. Note que \gamma\neq 0, porque z não é real.
3. Soma dos produtos dois a dois: r(z+\bar z) + z\bar z = -\alpha.

Substituindo os resultados dos passos 1 e 2 no passo 3:

A resposta pode ser escrita também como \alpha=\dfrac{\beta^2-\gamma^6}{\gamma^4}.

\alpha = \dfrac{\beta^2}{\gamma^4}-\gamma^2

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.