Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

a)

O coeficiente de x^2 é \operatorname{cossec}^2\alpha, que é diferente de zero para \alpha\in(0,\pi). Logo P é sempre do 2º grau, e suas raízes são reais quando o discriminante é \Delta\ge 0.

1. Calculamos o discriminante:
   

   \Delta=\cotg^2\alpha-4\operatorname{cossec}^2\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sen^2\alpha}-\frac{4\cos\alpha}{\sen^2\alpha}=\frac{\cos\alpha\,(\cos\alpha-4)}{\sen^2\alpha}.

2. Em (0,\pi) temos \sen^2\alpha>0, então o sinal de \Delta é o de \cos\alpha\,(\cos\alpha-4).

3. Como \cos\alpha\le 1, vale \cos\alpha-4<0. Assim, \Delta\ge0 exige \cos\alpha\le 0.

4. No intervalo (0,\pi), \cos\alpha\le0 equivale a \dfrac{\pi}{2}\le\alpha<\pi.

Verificação do extremo: para \alpha=\pi/2 temos P(x)=x^2, com raiz real x=0 (dupla), então \pi/2 entra. Para \alpha<\pi/2, \cos\alpha>0 e \Delta<0, sem raízes reais.

\dfrac{\pi}{2}\le\alpha<\pi

Assuntos: Equação do 2º grau, Identidades, adição de arcos e arco duplo.