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Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

Matemática · Matemática: Números complexos

Considere o seguinte subconjunto A do conjunto dos números complexos \mathbb{C}.:

A = \left\{ z \in \mathbb{C} \mid \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{z - 1}{z + 1} \right|^n \le k - 1 \right\},

onde k > 1 é um número real dado.

Determine o valor máximo de |z| para z \in A.

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Resolução comentada

a) Seja r=\left|\dfrac{z-1}{z+1}\right|, com z\neq -1. A soma \sum_{n\ge1} r^n é uma série geométrica. Ela converge só se r<1, e então vale \dfrac{r}{1-r}.

A condição do conjunto fica:

\frac{r}{1-r}\le k-1 \iff r\le (k-1)(1-r) \iff kr\le k-1 \iff r\le c,\quad c=\frac{k-1}{k}.

Como 0<c<1, a condição r<1 já está garantida. Logo A é o conjunto dos z tais que |z-1|\le c\,|z+1|.

Escrevendo z=x+yi e elevando ao quadrado:

|z-1|^2\le c^2|z+1|^2 \iff (1-c^2)|z|^2-2(1+c^2)x+(1-c^2)\le 0.

Dividindo por 1-c^2>0 e chamando m=\dfrac{1+c^2}{1-c^2}:

x^2+y^2-2mx+1\le 0 \iff (x-m)^2+y^2\le m^2-1.

Isso é um disco de centro (m,0) e raio \sqrt{m^2-1}. O ponto mais distante da origem fica no eixo real, então

|z|_{\max}=m+\sqrt{m^2-1}.

Calculando m com c=\frac{k-1}{k}:

1+c^2=\frac{2k^2-2k+1}{k^2},\qquad 1-c^2=\frac{2k-1}{k^2},\qquad m=\frac{2k^2-2k+1}{2k-1}.

Então:

m-1=\frac{2(k-1)^2}{2k-1},\qquad m+1=\frac{2k^2}{2k-1},\qquad \sqrt{m^2-1}=\frac{2k(k-1)}{2k-1}.

Somando:

|z|_{\max}=\frac{2k^2-2k+1+2k^2-2k}{2k-1}=\frac{4k^2-4k+1}{2k-1}=2k-1.

Verificação: para z=2k-1, r=\dfrac{2k-2}{2k}=\dfrac{k-1}{k}=c, e a igualdade vale.

Valor máximo de |z|: 2k-1.

Assuntos: Números complexos, Progressão geométrica.

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Fonte: IME 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗