Correção IME 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024

Matemática · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Para n natural positivo, o número O_n é definido como a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética de razão 6 iniciada em 1. Dos 2024 primeiros números O_n, quantos apresentam resto 1 na divisão por 8 ?

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Primeiro, a soma O_n. Os termos da PA são a_k = 1 + 6(k-1) = 6k-5, então

O_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,(1 + 6n-5)}{2} = n(3n-2) = 3n^2 - 2n.

Queremos O_n \equiv 1 \pmod 8, isto é, 3n^2 - 2n - 1 \equiv 0 \pmod 8. Fatorando:

3n^2-2n-1 = (n-1)(3n+1).

Note que 3n+1 = 3(n-1)+4. Escrevendo n-1 = k, o produto é k(3k+4).

  1. Se k é ímpar, 3k+4 também é ímpar, e o produto é ímpar. Não serve.
  2. Se k é par, k = 2m e o produto vale 2m\cdot(6m+4) = 4m(3m+2). Ele é múltiplo de 8 se, e somente se, m(3m+2) for par. Se m é ímpar, 3m+2 é ímpar e o produto m(3m+2) é ímpar. Se m é par, é par. Logo m deve ser par.

Assim k = 2m é múltiplo de 4, ou seja, n \equiv 1 \pmod 4.

Conferindo com n = 1, \dots, 8 módulo 8: O_n \equiv 1, 0, 5, 0, 1, 0, 5, 0. Só n=1 e n=5 dão resto 1, o que confirma n\equiv 1 \pmod 4.

Contagem em n = 1, 2, \dots, 2024: os valores são 1, 5, 9, \dots, 2021, que formam uma PA de razão 4. O número de termos é

\frac{2021-1}{4} + 1 = 506.

(Como 2024 = 4\cdot 506, cada bloco de 4 números consecutivos contém exatamente um valor de n\equiv1 \pmod 4.)

506 números.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2024

Fonte: IME 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗