Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024

Question

Para cada número inteiro k \geqslant 1, seja S_k = \sum_{n=1}^k \frac{2^n + n^2 + n}{2^{n+1}n(n + 1)}. Determine o menor valor de k para o qual

|S_k - 1| < \frac{265}{4608}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Para cada número inteiro k \geqslant 1, seja S_k = \sum_{n=1}^k \frac{2^n + n^2 + n}{2^{n+1}n(n + 1)}. Determine o menor valor de k para o qual

|S_k - 1| < \frac{265}{4608}

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Resolução comentada

Simplificando o termo geral. Separe a fração em duas:

\frac{2^n+n(n+1)}{2^{n+1}n(n+1)}=\frac{1}{2n(n+1)}+\frac{1}{2^{n+1}}

Somando. A primeira parcela é telescópica, pois \frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}:

\sum_{n=1}^k\frac{1}{2n(n+1)}=\frac12\left(1-\frac1{k+1}\right)=\frac12-\frac1{2(k+1)}

A segunda é uma PG de primeiro termo \frac14 e razão \frac12:

\sum_{n=1}^k\frac1{2^{n+1}}=\frac12-\frac1{2^{k+1}}

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S_k=1-\frac1{2(k+1)}-\frac1{2^{k+1}}

A desigualdade. Como S_k<1, temos

|S_k-1|=1-S_k=\frac1{2(k+1)}+\frac1{2^{k+1}}

Essa expressão é decrescente em k. Basta então achar o primeiro k em que ela fica abaixo de \frac{265}{4608}. Note que 4608=512\cdot 9.

Para k=8:

\frac1{18}+\frac1{512}=\frac{256}{4608}+\frac{9}{4608}=\frac{265}{4608}

Aqui há igualdade, e a desigualdade é estrita, então k=8 não serve (e, pela monotonia, nenhum k<8 serve).

Para k=9:

\frac1{20}+\frac1{1024}\approx 0{,}0510<\frac{265}{4608}\approx0{,}0575

Cumpre a condição.

Menor valor: k=9.

Assuntos: Progressão geométrica, Inequações e desigualdades.

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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗