Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024

a) Para existir \log_2 x, precisamos de x>0. Chame L=\log_2 x. Então \text{colog}_2 x=-\log_2 x=-L.

Os dois determinantes têm a forma de Vandermonde, com linhas 1,\,a,\,a^2 nas variáveis das colunas. O determinante vale (b-a)(c-a)(c-b) para as colunas a,b,c.

1. Lado esquerdo: as colunas correspondem a 2,\ L,\ 1.
   

   (L-2)(1-2)(1-L)=(L-2)(L-1)

2. Lado direito: as colunas correspondem a 1,\ -L,\ \tfrac12.
   

   (-L-1)\left(\tfrac12-1\right)\left(\tfrac12+L\right)=\tfrac12(L+1)\left(L+\tfrac12\right)

3. A inequação fica:
   

   L^2-3L+2\le \tfrac12\left(L^2+\tfrac32L+\tfrac12\right)
   
   Multiplicando por 4:
   
   4L^2-12L+8\le 2L^2+3L+1 \;\Rightarrow\; 2L^2-15L+7\le 0

4. As raízes são L=\dfrac{15\pm13}{4}, ou seja, L=\tfrac12 e L=7. A parábola abre para cima, então a desigualdade vale entre as raízes:
   

   \tfrac12\le \log_2 x\le 7

5. Como a base 2 é maior que 1, a função logaritmo é crescente e o sentido da desigualdade se mantém:
   

   2^{1/2}\le x\le 2^7 \;\Rightarrow\; \sqrt2\le x\le 128

Esse intervalo já satisfaz x>0.

Solução: \sqrt2\le x\le128

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Inequações e desigualdades.