Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024

Faça a mudança de variável W = Z - \frac{3i}{2}. A equação vira W^3 = -27i.

Escrevendo -27i na forma polar, temos -27i = 27\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\,\sen\frac{3\pi}{2}\right). Então |W| = \sqrt[3]{27} = 3 e os argumentos são

As três raízes de W são:

1. W_0 = 3i
2. W_1 = 3\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sen\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3i}{2}
3. W_2 = 3\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sen\frac{11\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3i}{2}

Voltando a Z = W + \frac{3i}{2}, que é só uma translação:

A translação não altera a forma nem a área. Os vértices ficam igualmente espaçados numa circunferência de raio R = 3 centrada em \frac{3i}{2}, então o triângulo é equilátero.

O lado vale \ell = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}. Conferindo com as coordenadas, Z_1 e Z_2 formam a base 3\sqrt{3}, e a altura até Z_0 é \frac{9}{2}.

O resultado também confere com a fórmula \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}.

Área = \dfrac{27\sqrt{3}}{4}

Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.

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