PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023
Sejam P_1 um tetraedro regular e P_2 um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razão entre as áreas totais de P_2 e P_1 é 2.
Determine a razão entre os volumes de P_2 e P_1.
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Resolução comentada
a) Como o tetraedro regular só tem faces triangulares equiláteras, a base comum é um triângulo equilátero de lado a. Assim, a base do prisma reto também é esse triângulo, e chamamos de h a altura do prisma.
Áreas totais
- Tetraedro: 4 faces equiláteras, então A_1 = 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}\,a^2.
- Prisma: 2 bases e 3 faces retangulares, então A_2 = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2+3ah=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2+3ah.
A condição A_2=2A_1 dá:
\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2+3ah=2\sqrt{3}\,a^2 \Rightarrow 3ah=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.
Volumes
- Prisma: V_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{3}{8}a^3.
- Tetraedro regular: V_1=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}. Isso vem de \frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot a\sqrt{\tfrac23}, pois a altura do tetraedro é a\sqrt{2/3}.
Razão
\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{3/8}{\sqrt{2}/12}=\dfrac{36}{8\sqrt{2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{2}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}.
A razão entre os volumes é \dfrac{9\sqrt{2}}{4}.
Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Pirâmides e tronco de pirâmide.
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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗