Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Question

Sejam a, b, c números reais maiores que 1. Considere a expressão:

S = \frac{xy + yz + xz + 2(x + y + z) + 3}{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}

onde x = \log_c ab, y = \log_b ac, z = \log_a bc.

Prove que o valor de S é um número inteiro e calcule este valor.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Sejam a, b, c números reais maiores que 1. Considere a expressão:

S = \frac{xy + yz + xz + 2(x + y + z) + 3}{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}

onde x = \log_c ab, y = \log_b ac, z = \log_a bc.

Prove que o valor de S é um número inteiro e calcule este valor.

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Resolução comentada

a) Como a,b,c>1, temos A=\ln a, B=\ln b e C=\ln c positivos. Pela mudança de base:

x=\frac{\ln(ab)}{\ln c}=\frac{A+B}{C},\quad y=\frac{A+C}{B},\quad z=\frac{B+C}{A}.

Seja T=A+B+C>0. Então:

x+1=\frac{T}{C},\quad y+1=\frac{T}{B},\quad z+1=\frac{T}{A}.

Todos esses números são positivos, então o denominador de S nunca se anula.

A ideia é reescrever o numerador em função de u=x+1, v=y+1, w=z+1:

xy+yz+zx=(uv+vw+wu)-2(u+v+w)+3, pois xy=(u-1)(v-1)=uv-u-v+1 e analogamente para os outros pares.
2(x+y+z)=2(u+v+w)-6.
Somando e incluindo o +3 do enunciado, o numerador fica (uv+vw+wu)-2(u+v+w)+3+2(u+v+w)-6+3=uv+vw+wu.

Portanto:

S=\frac{uv+vw+wu}{uvw}=\frac1u+\frac1v+\frac1w.

Substituindo u,v,w:

S=\frac{C}{T}+\frac{B}{T}+\frac{A}{T}=\frac{A+B+C}{T}=1.

Logo S é constante, independente de a,b,c, e igual a um inteiro. S=1

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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗