PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023
Seja a equação (36x + 1)(27x + 3)(24x + 6)(18x + 3) = 189.
Determine as suas raízes reais.
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Resolução comentada
a) Fatore o que for possível em cada parêntese: 27x+3=3(9x+1), 24x+6=6(4x+1) e 18x+3=3(6x+1). O produto dos números fora dos parênteses é 3\cdot 6\cdot 3=54. Dividindo a equação por 54:
(36x+1)(9x+1)(4x+1)(6x+1)=\frac{189}{54}=\frac{7}{2}.
Agora agrupe os fatores de modo a aparecer uma expressão em comum:
(36x+1)(4x+1)=144x^2+40x+1=8(18x^2+5x)+1,
(9x+1)(6x+1)=54x^2+15x+1=3(18x^2+5x)+1.
Faça t=18x^2+5x. A equação vira
(8t+1)(3t+1)=\frac72 \Rightarrow 24t^2+11t+1=\frac72 \Rightarrow 48t^2+22t-5=0.
O discriminante é 22^2+4\cdot48\cdot5=484+960=1444=38^2. Logo
t=\frac{-22\pm38}{96}\Rightarrow t=\frac16 \text{ ou } t=-\frac58.
- Para t=\frac16: 18x^2+5x-\frac16=0, ou seja, 108x^2+30x-1=0. O discriminante é 900+432=1332=36\cdot37, e então x=\dfrac{-30\pm6\sqrt{37}}{216}=\dfrac{-5\pm\sqrt{37}}{36}. As duas raízes são reais.
- Para t=-\frac58: 18x^2+5x+\frac58=0, ou seja, 144x^2+40x+5=0. O discriminante é 1600-2880<0, então não há raízes reais.
As raízes reais são x=\dfrac{-5+\sqrt{37}}{36} e x=\dfrac{-5-\sqrt{37}}{36}.
Resposta: x=\dfrac{-5\pm\sqrt{37}}{36}.
Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.
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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗