Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Question

Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vértices ao acaso.

Calcule a probabilidade dos 3 vértices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

Answer 1

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Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vértices ao acaso.

Calcule a probabilidade dos 3 vértices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

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Resolução comentada

O dodecaedro regular tem 20 vértices e 12 faces, todas pentagonais regulares, com 5 vértices cada.

Casos possíveis: escolher 3 vértices quaisquer entre 20:

\binom{20}{3}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140

Casos favoráveis: os 3 vértices devem estar numa mesma face. Em cada face, há

\binom{5}{3}=10

escolhas possíveis.

Precisamos garantir que nenhum trio seja contado duas vezes. Duas faces distintas de um dodecaedro compartilham no máximo uma aresta, ou seja, no máximo 2 vértices. Logo, 3 vértices não pertencem a duas faces ao mesmo tempo, e não há contagem repetida.

Total de casos favoráveis: 12\cdot 10=120.

Probabilidade:

P=\frac{120}{1140}=\frac{2}{19}

Resposta: P=\dfrac{2}{19} (aproximadamente 10{,}5\%).

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Combinações e binômio de Newton.

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Questão 6 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2023

Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗