Correção IME 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Seja um triângulo acutângulo IME conforme a figura abaixo tal que \overline{IH} = \overline{IO}, onde H e O são respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triângulo e não pertecentes aos lados. Calcule o ângulo \widehat{HEO}, sabendo que os ângulos \widehat{EIH} = 2\widehat{HIO}.

Triângulo IME com vértices I no topo, E à esquerda e M à direita inferior. No interior do triângulo estão os pontos H (ortocentro) e O (circuncentro), com segmentos desenhados conectando I a H, I a O, E a H e E a O.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Chame de \hat I, \hat E e \hat M os ângulos internos do triângulo, e seja R o circunraio.\n\nPasso 1: ângulo em I. A distância de um vértice ao ortocentro é IH = 2R\cos\hat I. Como IO = R, a condição IH = IO dá 2R\cos\hat I = R, ou seja, \cos\hat I = \tfrac12. Logo \hat I = 60^\circ e \hat E + \hat M = 120^\circ.\n\nPasso 2: ângulos em I com IH e IO.\n\n- A altura de I forma um triângulo retângulo com o lado IE e a base EM. Daí \widehat{EIH} = 90^\circ - \hat E.\n- O ângulo central \widehat{EOI} = 2\hat M. O triângulo OIE é isósceles (OI = OE = R), então \widehat{EIO} = 90^\circ - \hat M.\n\nNa figura, H está entre IE e IO. Assim \widehat{EIO} = \widehat{EIH} + \widehat{HIO} = \tfrac32\,\widehat{EIH}, pois \widehat{EIH} = 2\widehat{HIO}.\n\nPasso 3: equação. Com \hat M = 120^\circ - \hat E:\n\n

90^\circ - (120^\circ - \hat E) = \tfrac32\,(90^\circ - \hat E)
\n\n
\hat E - 30^\circ = 135^\circ - 1{,}5\,\hat E \Rightarrow \hat E = 66^\circ,\quad \hat M = 54^\circ.
\n\nConferência: \widehat{EIH} = 24^\circ, \widehat{EIO} = 36^\circ e \widehat{HIO} = 12^\circ. Vale 24^\circ = 2\cdot 12^\circ, e o triângulo é acutângulo.\n\nPasso 4: ângulo em E. Pelo mesmo raciocínio aplicado ao vértice E:\n\n- A altura de E forma com EI o ângulo \widehat{HEI} = 90^\circ - \hat I = 30^\circ.\n- \widehat{OEI} = 90^\circ - \hat M = 36^\circ.\n\nComo H e O estão do mesmo lado de EI:\n\n
\widehat{HEO} = 36^\circ - 30^\circ = 6^\circ.
\n\n**\widehat{HEO} = 6^\circ**

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2023

Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗