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Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q médio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A, é projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M', respectivamente, e também nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N', respectivamente. O plano MM'NN' divide o tetraedro em dois volumes com razão de 1 para 4. Determine QP em função de a.

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Resolução comentada

a) Seja AP=x. Como as faces são triângulos equiláteros, a projeção de P sobre uma aresta que sai de A ou de B cai a x\cos 60^\circ do vértice. Então:

  • AM=AM'=\dfrac{x}{2};
  • BN=BN'=\dfrac{a-x}{2}.

Ponha s=\dfrac{AM}{a}=\dfrac{x}{2a} e t=\dfrac{BN}{a}=\dfrac{a-x}{2a}. Então s+t=\dfrac12.

Como AM=AM', temos MM'\parallel CD. Como BN=BN', temos NN'\parallel CD. Logo M,M',N,N' são coplanares e o plano é paralelo a CD. Ele deixa A e B de um lado e C e D do outro.

A parte que contém C e D é um prisma triangular de bases CMN e DM'N'. Divido-o em três tetraedros: CMND, MNDM' e NDM'N'. Uso coordenadas afins com origem em A e base \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}. O volume de cada tetraedro, como fração de V (o volume do tetraedro ABCD), é o módulo do determinante dos vetores que o definem. Os valores são:

  1. V_1=(1-s)(1-t);
  2. V_2=s(1-s)(1-t);
  3. V_3=t(1-s)(1-t).

Somando:

\frac{V_{CD}}{V}=(1-s)(1-t)(1+s+t)=\frac32(1-s)(1-t)=\frac32\left(\frac12+st\right)=\frac34+\frac{3st}{2}.

Essa fração é no mínimo \dfrac34, então a parte com C e D é a maior. A razão 1:4 exige que ela seja \dfrac45:

\frac34+\frac{3st}{2}=\frac45\ \Rightarrow\ st=\frac1{30}.

Como Q é o ponto médio, QP=\dfrac a2-x. Daí s-t=\dfrac{2x-a}{2a}=-\dfrac{QP}{a}. Então:

\left(\frac{QP}{a}\right)^2=(s-t)^2=(s+t)^2-4st=\frac14-\frac{2}{15}=\frac7{60}.

Portanto QP=a\sqrt{\dfrac7{60}}. Esse valor é aproximadamente 0{,}34a, menor que \dfrac a2, então P está de fato entre Q e A.

QP=\dfrac{a\sqrt{105}}{30}

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Semelhança e Teorema de Tales.

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Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗