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Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Considere o sistema a seguir:

\begin{cases} 3x + 2y - z = ky \\ (1 - k)x - y + 4z = 0 \\ 2x + y - kz = z \end{cases}

Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema indeterminado. Para esse valor de k, encontre a solução x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de (x - z)^2 + e^{x+y} - 4|x| - 2y.

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Resolução comentada

a) Passando tudo para o lado esquerdo, o sistema fica homogêneo:

\begin{cases}3x+(2-k)y-z=0\\(1-k)x-y+4z=0\\2x+y-(k+1)z=0\end{cases}

Um sistema homogêneo é indeterminado quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero. Desenvolvendo pela primeira linha:

D=3(k-3)+(k-2)(k^2-9)+(k-3)=k^3-2k^2-5k+6

Como k=1 é raiz, fatoramos: D=(k-1)(k-3)(k+2). As raízes são -2, 1 e 3, e o menor valor é k=-2.

k=-2

b) Com k=-2, o sistema é:

3x+4y-z=0,\quad 3x-y+4z=0,\quad 2x+y+z=0
  1. Subtraindo a 2ª equação da 1ª: 5y-5z=0, logo y=z.
  2. Na 3ª equação: 2x+2y=0, logo x=-y.
  3. A 1ª equação confere: -3y+4y-y=0.

Tomando y=t, as soluções são (x,y,z)=(-t,\,t,\,t), com t\in\mathbb{R}.

Substituindo na expressão: x-z=-2t e x+y=0. Então:

f(t)=4t^2+e^0-4|t|-2t=4t^2-4|t|-2t+1

Caso t\ge 0: f=4t^2-6t+1. O vértice está em t=\tfrac34, que é válido, e f\left(\tfrac34\right)=\tfrac94-\tfrac92+1=-\tfrac54.

Caso t<0: f=4t^2+2t+1. O vértice está em t=-\tfrac14, e f\left(-\tfrac14\right)=\tfrac34.

Como -\tfrac54<\tfrac34, o mínimo global ocorre em t=\tfrac34. Logo x=-\tfrac34, y=\tfrac34, z=\tfrac34, e o valor mínimo da expressão é -\tfrac54.

(x,y,z)=\left(-\tfrac34,\ \tfrac34,\ \tfrac34\right)

Assuntos: Sistemas lineares, Inequações e desigualdades.

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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗