PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022
Em um triângulo de vértices A(0, 0), B(2, 4) e C(6, 0), toma-se um ponto variável M sobre o lado AB. Desse ponto, traça-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q.
Identifique o lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção das retas BQ e CM e escreva a sua equação.
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Resolução comentada
Identificação do lugar geométrico
Como M está em AB, que está na reta y=2x, escrevemos M=(t,2t) com 0\le t\le 2. A perpendicular a AC (o eixo x) traçada por M é a reta vertical x=t, e ela encontra AC em Q=(t,0).
Retas BQ e CM
- Reta BQ, com B(2,4) e Q(t,0): y(2-t)=4(x-t). Isolando t, t=\dfrac{4x-2y}{4-y}.
- Reta CM, com C(6,0) e M(t,2t): y(6-t)=2t(6-x). Isolando t, t=\dfrac{6y}{12-2x+y}.
Para eliminar o parâmetro, igualamos as duas expressões de t:
Desenvolvendo:
Dividindo por -4:
Classificação
Na equação, A=2, B=-2 e C=-1, então B^2-4AC=4+8=12>0. Trata-se de uma hipérbole. O centro vem de \nabla=0: 4x-2y-12=0 e -2x-2y+12=0, que dão centro (4,2).
Verificações
- Para t=1, a interseção é \left(\frac{16}{11},\frac{20}{11}\right), que satisfaz a equação.
- Para t=2, M=B e a interseção é B(2,4), que satisfaz a equação.
- Para t=0, BQ é a reta AB e CM é a reta AC, que se cortam em A(0,0), que também satisfaz a equação.
Resultado
Como M percorre apenas o lado AB, o ponto de interseção descreve somente o arco dessa hipérbole que vai de A(0,0) a B(2,4), correspondente a 0\le x\le 2. A curva completa, que também passa por C, é a hipérbole de equação
2x^2-2xy-y^2-12x+12y=0
Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Ponto e reta no plano cartesiano.
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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗