Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Question

Suponha que a e b são raízes reais e diferentes da equação 4x^2 - 4tx - 1 = 0 (t \text{ } \in \mathbb{R}). O intervalo [a, b] é o domínio da função f(x) = \frac{2x - t}{x^2 + 1}. Seja g(t) = \max f(x) - \min f(x). Determine g(0).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Suponha que a e b são raízes reais e diferentes da equação 4x^2 - 4tx - 1 = 0 (t \text{ } \in \mathbb{R}). O intervalo [a, b] é o domínio da função f(x) = \frac{2x - t}{x^2 + 1}. Seja g(t) = \max f(x) - \min f(x). Determine g(0).

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Resolução comentada

a) Com t=0, a equação fica 4x^2-1=0, cujas raízes são x=\pm\frac{1}{2}. Como a<b, temos a=-\frac{1}{2} e b=\frac{1}{2}. Logo, o domínio é \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] e a função é f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}.

Para achar máximo e mínimo, derivamos:

f'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.

Para x\in\left[-\frac12,\frac12\right] vale 1-x^2>0, então f'(x)>0. Portanto f é estritamente crescente no intervalo, e o mínimo está em x=a e o máximo em x=b.

Calculando:

f\left(\frac12\right)=\dfrac{1}{\frac14+1}=\dfrac{1}{5/4}=\dfrac45.
f\left(-\frac12\right)=-\dfrac45, pois f é ímpar.

Assim,

g(0)=\frac45-\left(-\frac45\right)=\frac85.

g(0)=\dfrac{8}{5}

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Equação do 2º grau.

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Questão 2 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗