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Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Os pontos A(-5,0) e B(5,0) definem um dos lados do triângulo ABC. A bissetriz interna do ângulo correspondente ao vértice C é paralela à reta de equação 14x - 2y + 1 = 0. Determine o valor da excentricidade do lugar geométrico definido pelo vértice C deste triângulo.

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Resolução comentada

a) Seja C=(x,y), com a=CA e b=CB. A bissetriz interna de C tem a direção do vetor soma dos vetores unitários de C para A e de C para B:

\vec u=\frac{A-C}{a}+\frac{B-C}{b}.

A reta 14x-2y+1=0 tem coeficiente angular 7. Então u_y=7u_x, ou seja:

-\frac{y}{a}-\frac{y}{b}=7\left(\frac{-5-x}{a}+\frac{5-x}{b}\right).

Agrupando os termos com a e com b:

\frac{7x-y+35}{a}=-\frac{7x-y-35}{b}.

Elevando ao quadrado e chamando t=7x-y:

(t+35)^2\,b^2=(t-35)^2\,a^2 .

Expandindo, o termo (t^2+1225)(b^2-a^2) aparece junto com 70t(a^2+b^2):

(t^2+1225)(b^2-a^2)+70t(a^2+b^2)=0.

Como b^2-a^2=-20x e a^2+b^2=2x^2+2y^2+50, ficamos com:

-2x(t^2+1225)+7t(2x^2+2y^2+50)=0.

Substituindo t=7x-y e t^2=49x^2-14xy+y^2, os termos em x^3 e em x se cancelam. Sobra:

14x^2y+96xy^2-14y^3-350y=0.

Como y\neq0 (o triângulo não é degenerado), dividimos por 2y:

7x^2+48xy-7y^2=175.

Verificação: A(\pm5,0) satisfaz a equação, o que é coerente.

Essa é uma hipérbole, pois B^2-4AC=48^2+196>0. Como a soma dos coeficientes de x^2 e y^2 é 7-7=0, ela é equilátera (retangular). Em uma hipérbole equilátera a=b, logo:

e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt2.

Excentricidade e=\sqrt2.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗