Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

Use que \sen\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x para passar tudo a cossenos de arcos múltiplos de \frac{\pi}{7}:

• \sen\frac{\pi}{14}=\cos\left(\frac{7\pi}{14}-\frac{\pi}{14}\right)=\cos\frac{6\pi}{14}=\cos\frac{3\pi}{7}
• \sen\frac{3\pi}{14}=\cos\frac{4\pi}{14}=\cos\frac{2\pi}{7}
• \sen\frac{5\pi}{14}=\cos\frac{2\pi}{14}=\cos\frac{\pi}{7}

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Como \cos\frac{3\pi}{7}=-\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)=-\cos\frac{4\pi}{7}, temos

O produto C tem arcos que dobram a cada fator. Multiplique por \sen\frac{\pi}{7}\neq 0 e aplique \sen 2x=2\sen x\cos x três vezes:

Como \sen\frac{8\pi}{7}=\sen\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=-\sen\frac{\pi}{7}, vem

Portanto \frac1b=-C=\frac18, ou seja, b=8, que é inteiro não nulo, como pedido.

b=8

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.