Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

Seja P a interseção das tangentes (diferentes de r) traçadas de A e de B a uma circunferência \lambda tangente a r em C. Suponha, sem perder generalidade, que A está entre C e B, ou seja, AC<BC.

Ideia. A circunferência \lambda é tangente às três retas AB, PA e PB. Logo, ela é inscrita ou exinscrita ao triângulo PAB. Como o ponto de tangência C está fora do segmento AB, \lambda é a circunferência exinscrita relativa ao vértice B. Ela toca a reta AB no prolongamento além de A, toca o lado PA em T e toca o prolongamento de BP além de P em S.

Tangentes de um mesmo ponto são iguais:

1. AT=AC e BS=BC.
2. T está no segmento PA, então PT=PA-AC.
3. S está no prolongamento de BP além de P, então PS=BS-PB=BC-PB.
4. Como PT=PS, temos PA-AC=BC-PB.

Daí:

Portanto P pertence à elipse de focos A e B com eixo maior 2a=AC+BC. Essa elipse passa por C, pois CA+CB=AC+BC. Como C está na reta focal AB, C é um vértice da elipse. O outro vértice C' é o simétrico de C em relação ao ponto médio M de AB.

Em coordenadas, com C=(0,0), A=(a,0) e B=(b,0), 0<a<b, temos M=\left(\frac{a+b}{2},0\right) e C'=(a+b,0).

Recíproca. Seja P um ponto da elipse fora de r. No triângulo PAB, o semiperímetro é

A exinscrita relativa a B toca a reta AB a uma distância s de B, do lado de A. Esse ponto é exatamente C. Logo, essa exinscrita é tangente a r em C e a PA e PB, e portanto P é de fato uma interseção do tipo pedido.

Pontos excluídos. Os vértices C e C' estão sobre r e não são atingidos: as tangentes seriam a própria r, e o triângulo PAB degenera. Além disso, as tangentes de A e de B nunca são paralelas. Elas formam com r ângulos 2\varphi_A e 2\varphi_B, com \tg\varphi_A=|k|/a e \tg\varphi_B=|k|/b, onde |k| é o raio. Como a\neq b, esses ângulos são diferentes, então P sempre existe.

Verificação numérica. Com a=1, b=3 e raio 1, a tangente por A é x=1 e a tangente por B é y=-\frac34(x-3). Então P=(1;1{,}5), PA=1{,}5 e PB=2{,}5, e a soma é 4=a+b, como previsto.

Resposta: o lugar geométrico é a elipse de focos A e B e eixo maior AC+BC, que tem C e o simétrico de C em relação ao ponto médio de AB como vértices sobre r, excluindo esses dois vértices.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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