Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

Question

Um determinado material radioativo, com volume inicial Q_0, é manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resíduo impuro da substância é descartado, através de uma ligação por um pequeno orifício, num invólucro lacrado em formato de paralelepípedo retângulo. No primeiro dia, a quantidade D_1 descartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidade D_n descartada no n-ésimo dia é dada pela relação:

D_n = \frac{1}{3} D_{n-1}, \text{ para } n \ge 2.

Determine as dimensões do invólucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricação seja mínimo (isto é, a superfície lateral tenha área mínima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.

Answer 1

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Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

Matemática · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Um determinado material radioativo, com volume inicial Q_0, é manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resíduo impuro da substância é descartado, através de uma ligação por um pequeno orifício, num invólucro lacrado em formato de paralelepípedo retângulo. No primeiro dia, a quantidade D_1 descartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidade D_n descartada no n-ésimo dia é dada pela relação:

D_n = \frac{1}{3} D_{n-1}, \text{ para } n \ge 2.

Determine as dimensões do invólucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricação seja mínimo (isto é, a superfície lateral tenha área mínima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.

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Resolução comentada

a) Como o invólucro deve guardar o material descartado por tempo indeterminado, o volume dele precisa ser pelo menos a soma de todos os descartes diários.

Os descartes formam uma PG infinita com D_1=\frac{Q_0}{3} e razão q=\frac13. Como |q|<1, a soma converge:

V=\sum_{n=1}^{\infty}D_n=\frac{D_1}{1-q}=\frac{Q_0/3}{2/3}=\frac{Q_0}{2}.

Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo, com abc=\frac{Q_0}{2}. Como o invólucro é lacrado, a superfície a minimizar é a total, S=2(ab+bc+ca). Se fossem só as quatro faces laterais, não haveria mínimo, pois a área poderia ser tão pequena quanto se quisesse.

Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

\frac{ab+bc+ca}{3}\ge\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}=\sqrt[3]{(abc)^2}.

Logo S\ge 6\,(abc)^{2/3}, que é constante porque o volume está fixo. A igualdade ocorre quando ab=bc=ca, ou seja, a=b=c. O mínimo é atingido, portanto, pelo cubo.

A aresta do cubo satisfaz a^3=\frac{Q_0}{2}, então:

a=b=c=\sqrt[3]{\frac{Q_0}{2}}.

Altura, largura e profundidade são todas iguais a \sqrt[3]{Q_0/2}, e a área mínima é S=6\left(\frac{Q_0}{2}\right)^{2/3}.

Altura = largura = profundidade = \sqrt[3]{Q_0/2} (um cubo de volume Q_0/2).

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Inequações e desigualdades, Progressão geométrica.

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Questão 10 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2020

Fonte: IME 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗