PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Física) da 2ª fase do IME 2020
A figura mostra um sistema usado em um laboratório de física para demonstrar a difração de luz por uma fenda. A luz de um laser de comprimento de onda \lambda passa por uma fenda de largura d, formada pelo espaço entre as extremidades de duas barras de comprimento L. A outra extremidade de cada barra é mantida fixa. Depois de passar pela fenda, a luz incide em uma tela distante, na qual é observado um padrão de difração formado por regiões claras e escuras.
a) Dado que na tela são observados exatamente 3 mínimos de intensidade luminosa em cada lado do máximo central de intensidade, determine o intervalo de valores da largura d da fenda que são compatíveis com essa observação.
b) A temperatura do laboratório normalmente é mantida em 24{,}0\ ^\circ\text{C} por um aparelho de ar condicionado. Em um dia no qual o experimento foi realizado com o aparelho de ar condicionado desligado, observou-se na tela apenas 1 mínimo de intensidade luminosa em cada lado do máximo central de intensidade, o que foi atribuído à dilatação térmica das barras. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear das barras é \alpha, determine o intervalo de temperaturas do laboratório, no dia em que o aparelho de ar condicionado foi desligado, que são compatíveis com essa observação.
Dados:
- comprimento de onda do laser: \lambda = 532\ \text{nm};
- comprimento de cada barra a 24{,}0\ ^\circ\text{C}: L = 50\ \text{cm};
- coeficiente de dilatação linear de cada barra: \alpha = 10^{-7}\ ^\circ\text{C}^{-1}.
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Resolução comentada
a) Na difração por fenda simples, os mínimos ocorrem quando d\,\sen\theta = m\lambda, com m = 1, 2, 3, \dots Como \sen\theta < 1 para um ponto da tela, só aparecem os mínimos com m\lambda < d.
Para haver exatamente 3 mínimos de cada lado, o mínimo m=3 deve existir e o m=4 não:
Se d = 3\lambda, o terceiro mínimo estaria em \theta = 90^\circ e não chegaria à tela. Se d = 4\lambda, o quarto mínimo estaria em 90^\circ e também não seria observado. Por isso o limite inferior é aberto e o superior é fechado.
Com \lambda = 532\ \text{nm}:
1596\ \text{nm} < d \le 2128\ \text{nm}
b) As extremidades externas das barras estão presas às paredes, que não se movem. Quando as barras dilatam, a abertura diminui. Cada barra ganha L\alpha\Delta T, então:
Aqui d é a largura a 24{,}0\ ^\circ\text{C}, que é o caso do item (a), com 3\lambda < d \le 4\lambda.
Agora há apenas 1 mínimo de cada lado, pelo mesmo critério do item (a):
A redução da fenda é \Delta d = d - d' = 2L\alpha\,\Delta T.
O menor valor possível de \Delta d ocorre com d mínimo e d' máximo: \Delta d > 3\lambda - 2\lambda = \lambda.
O maior valor possível ocorre com d máximo e d' mínimo: \Delta d < 4\lambda - \lambda = 3\lambda.
A desigualdade é estrita nos dois lados porque d' = \lambda e d = 3\lambda não são admitidos. Então:
Com 2L\alpha = 2\cdot 0{,}5\cdot 10^{-7} = 10^{-7}\ \text{m/}^\circ\text{C} = 100\ \text{nm/}^\circ\text{C}:
Somando 24{,}0\ ^\circ\text{C}:
29{,}32\ ^\circ\text{C} < T < 39{,}96\ ^\circ\text{C}
Assuntos: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização, Dilatação térmica.
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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗