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Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

A reta \text{r} é normal à cônica C, de equação 9x^2 - 4y^2 = 36, no ponto \text{A} = \left(3, \frac{3\sqrt{5}}{2}\right) e intercepta o eixo das abscissas no ponto \text{B}. Sabendo que \text{F} é o foco da cônica C mais próximo ao ponto \text{A}, determine a área do triângulo ABF.

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Resolução comentada

a) Dividindo a equação por 36, a cônica é uma hipérbole:

\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1,

com a^2=4, b^2=9 e c^2=a^2+b^2=13. Os focos são (\pm\sqrt{13},0). Como A tem abscissa positiva, o foco mais próximo é F=(\sqrt{13},0).

Conferindo A: 9\cdot 9-4\cdot\frac{45}{4}=81-45=36, então A pertence à hipérbole.

Reta normal. Derivando 9x^2-4y^2=36 implicitamente, temos 18x-8yy'=0, logo y'=\frac{9x}{4y}. Em A:

m_t=\frac{9\cdot 3}{4\cdot\frac{3\sqrt5}{2}}=\frac{27}{6\sqrt5}=\frac{9}{2\sqrt5}.

A normal é perpendicular à tangente, então m_r=-\frac{2\sqrt5}{9}. A equação de r é

y-\frac{3\sqrt5}{2}=-\frac{2\sqrt5}{9}(x-3).

Ponto B. Fazendo y=0:

-\frac{3\sqrt5}{2}=-\frac{2\sqrt5}{9}(x-3)\Rightarrow x-3=\frac{27}{4}\Rightarrow x=\frac{39}{4}.

Assim, B=\left(\frac{39}{4},0\right).

Área. B e F estão no eixo x, então a base do triângulo é BF=\frac{39}{4}-\sqrt{13} e a altura é a ordenada de A, \frac{3\sqrt5}{2}:

S=\frac12\left(\frac{39}{4}-\sqrt{13}\right)\frac{3\sqrt5}{2}=\frac{3\sqrt5\,(39-4\sqrt{13})}{16}=\frac{117\sqrt5-12\sqrt{65}}{16}.

Numericamente, S\approx 10{,}3.

Área =\dfrac{117\sqrt5-12\sqrt{65}}{16} (unidades de área)

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2019

Fonte: IME 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗