Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

a) A ideia é fatorar a equação.

Primeiro, a soma de senos vira produto: 2\,\sen(9x)+2\,\sen(5x)=4\,\sen(7x)\cos(2x).

Depois, 8\,\sen^2 x = 4(1-\cos 2x)=4-4\cos 2x.

Substituindo na equação:

O 4 cancela e sobra:

Logo, \cos 2x=0 ou \sen 7x=-\tfrac12.

Caso 1: \cos 2x=0. Então x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}. Em \left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right], só serve x=\frac{7\pi}{4}. Os vizinhos \frac{5\pi}{4} e \frac{9\pi}{4} ficam fora.

Caso 2: \sen 7x=-\tfrac12. Então 7x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi ou 7x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi.

Se x\in\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right], então 7x\in\left[\frac{21\pi}{2},14\pi\right].

• Para \frac{7\pi}{6}+2k\pi: k=5 dá \frac{67\pi}{6} e k=6 dá \frac{79\pi}{6}. Ambos estão no intervalo. Com k=4 o valor é menor que \frac{21\pi}{2}, e com k=7 passa de 14\pi.
• Para \frac{11\pi}{6}+2k\pi: k=5 dá \frac{71\pi}{6} e k=6 dá \frac{83\pi}{6}. Ambos estão no intervalo, e os outros valores de k ficam fora.

Dividindo por 7: x=\frac{67\pi}{42},\ \frac{71\pi}{42},\ \frac{79\pi}{42},\ \frac{83\pi}{42}.

Como \frac{7\pi}{4}=\frac{73{,}5\pi}{42}, nenhuma solução se repete entre os dois casos.

Resposta: x\in\left\{\frac{67\pi}{42},\ \frac{71\pi}{42},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{79\pi}{42},\ \frac{83\pi}{42}\right\}.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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