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Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Uma corda CD corta o diâmetro AB de um círculo de raio R no ponto E. Sabendo que o ângulo A\hat{B}C = 30^\circ e que \overline{EC} = R\sqrt{2}, calcule a medida do segmento \overline{ED}.

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Resolução comentada

a) Seja O o centro. Como AB é diâmetro, o triângulo ACB é retângulo em C. Com A\hat{B}C=30^\circ, temos AB=2R e BC=AB\cos 30^\circ=R\sqrt3.

Posição de E. Seja BE=x, com E em AB. Na lei dos cossenos do triângulo BCE, o ângulo em B é 30^\circ:

EC^2=BC^2+BE^2-2\cdot BC\cdot BE\cos30^\circ
2R^2=3R^2+x^2-2\cdot R\sqrt3\cdot x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\; x^2-3Rx+R^2=0
x=\frac{R(3\pm\sqrt5)}{2}

Como E está sobre o diâmetro, x\le 2R. A raiz com + vale cerca de 2{,}618R e não serve. Logo:

BE=\frac{R(3-\sqrt5)}{2},\qquad AE=2R-BE=\frac{R(1+\sqrt5)}{2}

Potência de ponto. Duas cordas, AB e CD, se cruzam em E. Então EC\cdot ED=AE\cdot EB:

AE\cdot EB=\frac{R^2(1+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{4}=\frac{R^2(2\sqrt5-2)}{4}=\frac{R^2(\sqrt5-1)}{2}

Como EC=R\sqrt2:

ED=\frac{R^2(\sqrt5-1)}{2\cdot R\sqrt2}=\frac{R(\sqrt5-1)}{2\sqrt2}=\frac{R(\sqrt{10}-\sqrt2)}{4}

Conferência: ED\approx0{,}437R e EC\cdot ED\approx0{,}618R^2, que é AE\cdot EB.

ED=\dfrac{R(\sqrt{10}-\sqrt2)}{4}

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗