Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

a) Escreva Z = x + yi, com x, y reais e Z \neq 0.

Condição do logaritmo. Como Z + \bar{Z} = 2x, temos 2Z + 2\bar{Z} + 1 = 4x + 1. Então:

Condição do argumento. Seja \theta = \arg Z. Então \arg \bar{Z} = -\theta e \arg i = \pi/2. No quociente, os argumentos se subtraem. O fator real 2 não altera o argumento. Logo:

Igualando a \frac{3\pi}{4}, a menos de voltas completas:

As direções possíveis de Z são \frac{5\pi}{8} (2º quadrante) e -\frac{3\pi}{8} (4º quadrante).

Como x = 2 > 0, Z está no 1º ou no 4º quadrante. Só serve \theta = -\frac{3\pi}{8}.

Cálculo de y. Temos \tg\theta = \frac{y}{x}, então y = 2\,\tg\left(-\frac{3\pi}{8}\right) = -2\,\tg\frac{3\pi}{8}.

Para \tg\frac{3\pi}{8}, use \tg\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1. Como \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}, vem \tg\frac{3\pi}{8} = \frac{1}{\sqrt2 - 1} = \sqrt{2}+1.

Portanto y = -2(1+\sqrt2).

Conferência. 2\theta - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{4}. Além disso, 4x+1 = 9 > 0, então o logaritmo existe.

Z = 2 − (2 + 2√2) i

Assuntos: Números complexos, Logaritmos e função logarítmica.

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